|
|
Fibonacci Sayıları & Altın Oran
Fibonacci sayıları ve altın oran matematiğin en ilgi çekici konuları arasındadır. Leonardo Fibonacci 13. yüzyılda yaşamış bir İtalyan matematikçisiydi. Fibonacci (bu soyadının anlamı "Bonacci'nin oğlu"dur) 1202' de, 1228 yılındaki ikinci baskısı sayesinde günümüze kadar varolmayı sürdürmüş kitabı Liber Abaci'yi ("Abaküs konusunda bir kitap" olarak Türkçeye çevirilebilir) yazmıştır. Liber Abaci, Hint-Arap sayılar sistemindeki sayısal simgelerin (1,2,3,... sayıları) Avrupa'ya girmesinde oldukça önemli bir yer sahibidir. Oldukça büyük boyutlu bir kitaptır ve o dönemde bilinen matematiğin büyük bir bölümünün kayıtlarını içerir. Cebirin kullanımı , farklı önem ve zorluk derecesinde bir çok örnek de verilerek, çok özel bir yer tutmaktadır. Ancak bunların arasından bir tanesi ve yalnız bir tanesi diğerlerinin çok ötesinde ünlü olmuştur: Günümüze erişen 1228 yılındaki ikinci baskının 123-124. sayfalarında yer almaktadır ve tavşan üretmek gibi matematikle pek ilgisi olmadığının düşünüldüğü bir konuyla ilgilidir. Temelde sorulan soru şudur; eğer bir çift tavşan her ay yeni bir çift tavşan doğurursa ve her yeni tavşan çifti kendi doğumlarından iki ay sonra yavrulamaya başlarsa, bir çift tavşandan bir yılda kaç çift tavşan üretilebilir? İlk ay yeni doğmuş bir çift tavşanımız olsun, tabi matematik bu yavruların anasız, babasız nasıl büyütülecekleri veya bu iki tavşanın da aynı cinsten olup olmaması konusuna pek girmez. İkinci ayda, bu tavşanlar daha yavrulamadıklarından, hala bir çift tavşanımız olacak. Üçüncü ayda bu tavşanlarımız yavrulayacağından iki çift tavşanımız olacak. Bu yeni doğmuş olan çift dördüncü ay doğurmayacak , oysa ana babaları yeniden bir çift yavru yapacak ve toplam üç çift tavşanımız olacak. Bu mantıkla düşünmeye devam edersek aşağıdaki sayı dizisini elde ederiz. Dizideki sayılar Ocak (ilk yavru çiftinin ortaya çıktığı ay) ile Aralık arasındaki takvim aylarının her birinde bizim kahraman tavşan çiftlerimizin sayısını vermektedir:
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144
Bu diziye baktığımız zaman onun basit bir kurala dayanarak oluşturulduğunu görebiliriz. Bu kuralı sözcüklerle ifade edersek; her sayı (ilk ikisi dışında) kendisinden önce gelen iki sayının toplamından oluşmuştur. Böylece, örneğin, dizinin sonundaki Aralık ayı sayısı , Ekim ve Kasım sayıları olan 55 ve 89 sayılarını toplayarak kolayca bulunabilir...
|
|
Zannedersem buraya kadar bir sorun yoktur, çünkü ilk bakışta gayet sıradan bir dizi gibi durmaktadır, bizim dizimiz. Ancak matematikçileri bu kadar heyecanlandıran ve peşinden sürükleyen olay nedir? Şimdi bu diziyi genelleyelim. Tavşanların bu şekilde devamlı yeni bebek sahibi olduklarını düşünürsek dizimizi sonsuza kadar uzatabiliriz. Hatta tavşanların hepsini bir yana bırakarak , n'inci sayıyı Fn olarak yazarak (Fibonacci adının baş harfi olduğundan F harfini kullanıyoruz) ve Fn 'in kendinden önce gelen Fn-2 ve Fn-1 sayılarının toplamı olduğunu hatırlayarak sonsuz bir sayı dizisi tanımlayabiliriz. Öyleyse Fibonacci sayılarının dizisi şu şekilde yazılabilir;
F1 , F2 , F3 , F4 , F5 , F6 , ....., Fn , .....
Öyleyse bize, F1 =1 ve F2 =1 verildiğinde daha sonra gelen bütün sayıları bulabilmemizi sağlayan basit denklem şöyle olacaktır;
|
Fn = Fn-1 + Fn-2 |
Bu formüle bakarak bazı şeyleri söyleyebiliriz. Mesela n=3 ise; F3 = F2 + F1 = 1 + 1 = 2 olur. Aynı şekilde F4 = 3 , F5 = 5 , F6 = 8 vb.. bulunabilir. Eğer biz bu işleme devam edersek sayılar korkunç derecede büyürler. Mesela dizinin 25' inci sayısı 75.025 olmuş, 100'üncü sayısı olan F100 = 354.224.848.179.261.915.075 gibi 21 basamaklı dev bir sayı olmuştur. Ancak bu dizinin terimlerine ilk bakışta görülemeyen bir başka düzen daha vardır. Dizinin sayıları ilerledikçe bu düzen kendini daha belirgin bir biçimde ortaya koyar. Eğer her Fibonacci sayısı kendisinden sonra gelen komşusuna bölünürse ve bulunan oranlar yazılırsa bu düzen hemen karşımıza çıkar. Böylece ilk iki oranla yola çıkarak, F1 / F2 = 1 , F2 /F3 = 1/2 (yani 0.5) olarak bulunur. Bu işlemi aynen devam ettirirsek sonraki sayfada gösterildiği gibi sayılar elde edilir...
|
1.000000 |
Bu sayılar gayet sıradan bir sayı gibi görünen 0.618034... sayısına doğru gidiyorlar. Gerçekte, bu "Fibonacci Sayıları" nı almayı sonsuza kadar sürdürme sonucunda bulunan sayılar (-1)/2 sayısına giderek daha da yaklaşırlar, bu sayının ondalık ifadesi de bilgisayarlarımızın verdiği tam hassasiyetle 0.618033989 olarak bulunmuştur. Fibonacci sayıları ailesi üç ayrı nedenle, yüzyıllardan bu yana yoğun bir ilgi odağı olmuştur. Birincisi;dizinin daha küçük üyelerinin doğada, beklenmedik yerlerde tekrar tekrar karşımıza çıkmasıdır; bitkilerde, böceklerde, çiçeklerde vb. İkinci neden oranların limit değeri olan 0.618033989 sayısının çok önemli bir sayı olmasıdır; genellikle "altın oran" olarak adlandırılan bu sayı, oyun kartlarının biçiminden Mısır'daki piramitlere kadar bir çok şeyin matematiksel temelini oluşturmaktadır. Üçüncüsü daha çok, sayıların kendilerinin, sayılar teorisinde beklenmedik biçimde farklı birçok kullanımı olan ilginç özellikleriyle ilgilidir. Önce doğada küçük Fibonacci sayılarıyla ne şekilde karşılaşıldığına bir bakalım. İlk olarak bir bitkinin sapındaki yaprakların, bir ağacın dallarının düzeninde hemen her zaman Fibonacci sayılarını bulursunuz. Eğer yapraklardan biri başlangıç noktası olarak alınmışsa ve bundan başlayarak, aşağıya veya yukarıya doğru, başlangıç noktasının tam olarak altında veya üstünde olan bir yaprak bulunana kadar yapraklar sayılırsa (sap çevresinde birden fazla dönmeye gerek olabilir) bulunan yaprak sayısı, farklı bitkiler, fidanlar ve ağaçlar için farklıdır, ancak her zaman bir Fibonacci sayısıdır. Dahası yaprakları sayarken süreç kendini tamamlamadan önce yapılan devir sayısı da bir Fibonacci sayısıdır. Ayrıca papatyaların da normal olarak bir Fibonacci sayısı kadar taç yaprağı vardır, tabi seviyor - sevmiyor diye koparılmamış ise:). Bu sebeple siz siz olun olaya matematiksel yaklaşarak genellikle elinize aldığınız papatyaya "seviyor" sözcüğüyle başlayın, çünkü bir papatyanın yaprak sayısı genelde Fibonacci sayılarından 21, 34, 55 ve 89 dur.
Doğadan Fibonacci sayılarına diğer bir örnek ise ayçiçekleriyle
ilgilidir. Ayçiçeğinin çiçek kısmında, ufak bölmelerde tohumlar vardır.
Bu bölümlerin sınırları merkezden başlayıp çiçeğin dış kenarına
giden sarmal eğriler şeklindedir. Eğer bir ayçiçeğini inceleme şansınız
olursa ve hem saat yönünde hem de saat yönünün zıddındaki sarmalları
sayarsanız bir Fibonacci sayısıyla karşılaşacağınızdan şüpheniz olmasın.
Ayçiçeklerinin tohumları büyük ve bu sebeple incelenmesi rahat olduğundan
örnek olarak verdim, yoksa ayçiçeğinin özel bir durumu yoktur. Birçok çiçeğin
tohum başı, bir kıvırcığın yaprakları, bir soğanın katmanları, ananas
ve kozalakların kat kat kabukları gibi bitkisel şekillerin birçoğu
Fibonacci sarmalları içerisindedir. "Fibonacci olmayan herhangi bir
kozalak bulunmuş mudur?" diye sorabilirsiniz. Yanıt "Evet ama çok
az sayıda." şeklindedir. Yüzde bir veya iki oranında farklı kozalakları
olan (çoğu zaman bir kaç belirli çam türünden)bazı çam ağaçları vardır.
Bunlar bile sık sık Fibonacci kozalaklarıyla , yakından ilişkilidirler, örneğin,
normal olan 5 ve 3 sayıları yerine belki de bir çifte Fibonacci sarmalının
10 ve 6 sayı çiftine sahiptirler. Eğer Fibonacci sayılarının nasıl oluştuğunu,
yani n'inci sayının , daha küçük iki komşusundan
Fn = Fn-1 + Fn-2 denklemlerini kullanarak hesaplandığını hatırlarsak, ilk
iki sayı seçilmeden bütün dizinin tümüyle saptanmış olmayacağı açıkça
görülür. Fibonacci dizisi, F1 = 1 ve F2 = 1 ile başlar, öbürlerini de
yukarıdaki denkleme göre daha sonra saptarız. Ancak bu iki başlangıç sayısının
özel bir yanı olmadığından, başlangıç için başka değerler de seçilebilir
ve aynı tanımlayıcı denklemi kullanarak tümüyle farklı bir sayı dizisi
elde edebilirsiniz.
Fransız matematikçisi Edward Lucas'ın adıyla anılan Lucas sıyıları
dizisi Fibonacci sayı dizileriyle akrabadır. Başlangıç sayıları için seçilebilecek
ikinci en basit sayıları seçerek F1 = 1 ve F2 = 3 olarak almıştır. F1 = 1
ve F2 = 2 koyarsak Fibonacci dizisini bazı ufak düzensizliklerle tekrarlayan
bir dizi oluştuğuna ve yeni hiç bir şey elde edilmediğine dikkat etmenizi
istiyorum. Oysa Lucas sayıları Fibonacci akrabalarından çok farklı bir dizi
oluştururlar ve şu şekildelerdir;
1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,199,322,...
Genellikle Lucas'ın baş harfi olan Ln ile gösterilirler. Lucas dizisi Fibonacci dizisinin birçok akrabasından biridir ancak ilginç olan bu sayıların da bazen doğada görülmesidir. Mesela Lucas ayçiçekleri olduğu belirlenmiştir. Fibonacci arkadaşlarından daha az rastlanıyor ancak 123 sağ sarmalı ve 76 sol sarmalı olan örnekler görülmüştür...
Doğada Fibonacci sayılarının ve çok sık olmamakla beraber Lucas sayılarının
görülmesini açıklamaya çalışan bazı görüşler vardır. Bunlar içinde
akla en yatkın olan, bir sap çevresindeki yaprakların Fibonacci sarmallarına
göre sıralanmakla yüzeylerinin Güneş'i en verimli biçimde almalarının sağlandığı
yolundadır. Diğer bir görüş ise (daha az doğrulanabilir olmasına rağmen),
polen taşıyan böceklerin "sayısal düzenler" i tercih ettikleri
varsayımına dayanmaktadır. Bu tercih sebebiyle evrim süreci boyunca
Fibonacci geometrilerinin baskın çıkmasına yol açmıştır.
Şimdi ise Fibonacci ve Lucas sayı dizilerinin sonsuza gitmeleri sonucu ortaya
çıkan ve altın oran denilen limit oranı 0.618033989... sayısı üzerinde
duralım. Bu sayıya olan ilgi 2000 yıl öncesinden de geriye dayanır.
"Atalarımız" altın oranı temel alan sanat ve mimarinin göze olağanüstü
güzel göründüğünü biliyorlardı. Bu nedenle geometriyi altın orana göre
tanımladılar; özellikle de bir düz doğru parçasını ikiye ayıran nokta
olarak. Öyle ki, küçük parçanın büyüğe oranı, büyüğün bütüne
olan oranına tam olarak eşittir. Küçük bölümü x, büyük bölümü ise 1
ile gösterirsek aşağıdaki gibi bir ifade yazabiliriz;
x / 1 = 1 / ( 1 + x )
Buradaki x+1 ifadesi anladığınız üzere doğru parçasının bütününün
uzunluğudur. Bu ifadeye basit bir içler dışlar çarpımı uyguladığımızda
x2 + x - 1 = 0 biçiminde ikinci dereceden bir ifade elde ederiz. Bu
ifadeden de x ' i çekersek x=( -1) / 2 tam çözümünü elde ederiz. Daha önce
de ifade ettiğim gibi x = (-1) / 2 ifadesi bilgisayarlarımızın vermiş olduğu
hassasiyetle 0.618033989 sayısıdır.
Kısa kenarının uzun kenarına olan oranı altın oran olan bir dikdörtgen çizerseniz
çok ünlü bir sanat eseri ortaya çıkarmış olursunuz, ve buna altın dikdörtgen
adı verilir. Eski Yunan'da buna Kutsal kesit adını vermişlerdi.
Şekildeki ACGH dikdörtgeni bir altın dikdörtgendir. Siz de eğer bir altın dikdörtgenim olsun diyorsanız, önce bir ABCD karesi çizin. CD kenarının orta noktası F ise, CD kenarını FG=FB olacak şekilde uzatın. ACGH dikdörtgeni bir altın dikdörtgendir. İlk bakışta o kadar övgüye değer bir özellik göze çarpmasa da, bir çok yönden ilginç bir yapıdır. Bunun nedeni günümüze kadar uzanan nesiller boyunca insanların çoğunun onu bütün dikdörtgenler içinde göze en hoş gelen dikdörtgen olarak görmesidir. Bunun sonucunda da günlük hayatımızda karşılaştığımız binlerce dikdörtgenin büyük bir bölümünün boyutları, altın dikdörtgeninkine yakındır. Bayraklar, kibrit kutuları, gazeteler, oyun kağıtları, yazı kağıtları ve sayısız başka binlerce örnek bu sınıftandır. Sanatçıların ve psikologların tam anlayamadıkları bir nedenle altın dikdörtgenin estetik bir çekiciliği vardır. Yunan mimarisi ve çömlekçiliğinin dışında heykel, resim sanatları, mobilya ve sanatsal tasarımlar için de doğrudur. Parthenon tapınağının ön bölümünü eksiksiz olduğu dönemde, bir altın dikdörtgenin içine neredeyse tıpatıp girebilirdi. Altın orana Mısır piramitlerinin bazılarının boyutlarında da rastlanır. Leonardo da Vinci de altın dikdörtgenlerden çok etkilenmiş, hatta bu konuda hazırlanan kitaba yazılarıyla katılmıştır. Ayrıca aralarında Mona Lisa tablosunun da bulunduğu bir çok eserin tuvalin içine bu oran gözetilerek yerleştirildiği iddia edilir. Altın dikdörtgenin bir diğer özelliği de içinden bir kare attığınız zaman geriye kalan dikdörtgenin de bir altın dikdörtgen olmasıdır. Şekildeki ACGH dikdörtgeninden ABCD karesini atarsak geriye kalan BHDG dikdörtgeni de bir altın dikdörtgendir. Bu işlemi istediğimiz kadar devam ettirebiliriz, ve her seferinde bir öncekinden daha küçük altın dikdörtgenler elde ederiz. Bunlar içeriye doğru bir sarmal oluşturarak sonuçta bir noktaya yönelirler. Eğer giderek küçülen bu karelerin veya dikdörtgenlerin köşelerini veya merkezlerini sırasıyla birleştirirsek altın sarmal olarak bilinen bir sarmal elde etmiş oluruz. Bu sarmal öyle herhangi bir sarmal değildir. Özel bir sarmaldır ve daha öncede bahsettiğim ayçiçeğindeki sarmalın aynısıdır. Matematiksel olarak bu sarmala eşit açılı sarmal ya da logaritmik sarmal adı verilir. Logaritmik sarmal denilmesinin nedeni, onu en basit biçimde ifade eden cebirsel denklemlerin logaritma ifadelerinin kullanılarak yazılmasındandır. Eşit açılı sarmal denilmesinin nedeni ise sarmalın merkezinden çizilen bir düz doğrunun sarmalı hep aynı açıda kesmesidir. Bu şekilde çizilen başka bir doğru da aynı şeyi yapar...
Bu çok özel sarmalın, bir nedenle, doğada çok sık tercih görmesi gerçekten
ilginç bir durumdur. Deniz kabukları, salyangozlar, doğanın boynuzları, azı
dişleri, pençeleri ve daha önce de bahsettiğim kozalaklar ve çiçekler;
bunların hepsinin eşit açılı sarmalın bölümleri olduğu anlaşılıyor.
Uzayın derinliklerindeki büyük galaksilerin bile dışa doğru dönen yıldızlardan
oluşmuş, devasa boyutta eşit açılı sarmal kolları var. Ancak Fibonacci
sayılarının ve altın oranın doğa ve sanattan ayrı olarak tümüyle
matematiksel olan ilginç yönleri de var.
Şimdi de basit kesirlere en basit örnek olan, belki de, yarım veya 1/2 yi ele
alalım. Bunu daha karmaşık yaparak aşağıdaki gibi yazabiliriz
Şimdi ise bu basit işlemi temel alan, ancak işi bir adım daha ileriye taşıyan bir kesir yazalım;
Bu kesrin değerini hesapladığımız zaman 2/3 yanıtını buluruz. Benzer biçimde bir adım daha atarsak bu sefer kesrimizin aldığı değer 3/5 olur. Artık bildiğimiz yolla devam ederek kesir yapılamayı bir adım daha sürdürürsek 5/8 gibi basit bir kesri ifade etmek için karmaşık bir yol bulduğumuzu anlarız. Şimdi bu kesri, yine bu kurallar çerçevesinde sonsuza kadar sürdürelim ve bir "sürekli kesir" elde edelim
Sizce bu sayı ne olabilir? Yanıt için ipuçlarından birisi hesaplamış olduğumuz ilk dört katın yapı taşlarıdır. Onlar için 1/2, 2/3, 3/5 ve 5/8 sayılarını bulmuştuk. Bunlar da Fibonacci kesirleri F2/F3, F3/F4, F4/F5, ve F5/F6 ... dır. Acaba bu bu bir rastlantı mı, yoksa daha fazla kat eklemeyi sürdürürsek bu garip görünümlü kesrin giderek altın oran olan 0,618033989... sayısına yaklaşacağı anlamına mı geliyor? Bu sürekli kesir, sonsuz limitte, gerçekten altın orana mı eşit olur? Bunu anlamak için sonsuza nasıl gidilebilir?
Sonsuz limitle ilgili bu soruyu yanıtlamak, kesrin herhangi bir basamağındaki değerini hesaplamaktan çok daha kolaydır. Burada bilinmeyen yerine "x" koyma yöntemi gibi basit bir yöntem yardımımıza koşuyor. Sonsuz limitte, başlangıçtaki karşımızda olan sonsuz sürekli kesri "x" ile gösterirsek, bunu şöyle bir denklemle ifade edebiliriz;
X=1/(1+X)
Bu denklem hatırlayacağınız gibi daha önce altın kesiti tanımlarken bulduğumuz denklemdir ve çözümü x=(-1)/2, yani altın orandır. Öyleyse sonsuz sürekli kesirlerin en basiti (yani sadece 1 lerden oluşan) yine bizi 0,618033989... sayısına götürüyor. Bu sayıyı bulmak için kesri sonsuza kadar sürdürmenin gerekli olması, altın oranın irrasyonel olduğunun bir başka göstergesidir.
Fibonacci dizileri ve altın sarmal tekrarlanan büyüme modellerinin önemli bir parçası; ancak "nasıl" ve "neden" olduğu tam bir sır. Ve bunun yaratıcısı da 13. yüzyılda yaşamış delikanlı Fibonacci'dir. Kayıtlara göre komşularının bu delikanlıya karşı takındıkları tavır için saygılı sözcüğü uygun düşmüyor; ona, biraz küçümseyerek, "Bigollone" yani "mankafa" derlermiş.